傅里叶级数证明巴塞尔问题

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设有函数\(f(x)=x\)，其定义域为\(x \in (-\pi,\pi)\)。这个函数的傅里叶级数是:

\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \]

根据帕塞瓦尔恒等式，我们有：

\[ {\pi^2 \over 3} = {1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (2 \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nt) )^2 dt = 2 \sum_{n=1}^{\infty} {1 \over n^2} \]

因此 :\(\({\pi^2 \over 6} = \sum_{n=1}^{\infty} {1 \over n^2}\)\)

证毕。